名古屋市東区にある学習塾、予備校なら【ＩＴＯ・ＡＣＡＤＥＭＹ】

現在、名古屋市東区筒井のＩＴＯ　ＡＣＡＤＥＭＹに通われており他の塾にも通っている生徒さんから質問がありました。彼はこの間の最後の試験では学年2位でした。

質問は約数とは、素数とは、正の約数の総和とは？……などです。

約数とは「その数を割ることのできる数」のことです。

例えば20は
1,2,4,5,10,20
で割ることができます。

ここで注意したいのが、約数は与えられた数を超えない数だという点です。

先の例ですと20の約数は20を超えてませんね。40とか120なんて数は約数にはなりえない、といことです。

さて、素数とは「約数に1とそれ自身の数しか持たない数」のことです。

確かに素数は

2の約数は1,2
3の約数は1,3
11の約数は1,11

になりますね。
ところが素数でない数は

4の約数は1,2,4
18の約数は1,2,3,6,9,18

になります。

まず、20の正の約数を列挙すると 1,2,4,5,10,20

また20を素因数分解すると、20 = 2×2 × 5

この式が意味しているのは、

「2×2の約数＝（1,2,4）の3つ、5の約数＝（1,5）の2つのうち、それぞれから任意に一つずつとってかけると、それは20の約数になっている」

ということです。

たとえば、2枚のコイン1,2の表と裏の出方は4通り(1の表、2の表)、(1の表、2の裏)、(1の裏、2の表)、(1の裏、2の裏)ありますが、これはコイン1の表裏の出方2通り×コイン2の表裏の出方2通り=4通り となっています。

このように、ある事柄Xにm通り、また別の事柄Yにn通りあったとき、全体ではm×n通りとなるのです。

次に2つ目。

まずためしに、1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 ＝ 42 を変形してみます。

(左辺) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 = 1 + 2 + 4 + 5×(1 + 2 + 4) = (1 + 2 + 4)×(1 + 5)

公式の形が出てきました。逆に、公式の形を、数値の計算を一切せずに展開した場合、その展開結果は約数の総和となっています。

ではなぜこれでいいのでしょうか。これは先ほど書いたことがポイントです。

「2×2の約数＝（1,2,4）の3つ、5の約数＝（1,5）の2つのうち、それぞれから任意に一つずつとってかけると、それは20の約数になっている」

前半のかっこ (1 + 2 + 4) は、2×2の約数すべてを足しています。 また後半のかっこ(1 + 5) は、5の約数をすべて足しています。

[そしてこの2つの組から任意に一つずつ選び、掛け算をすれば、その数字は20の約数になっています。]

いま上で書いた[]の中身の操作こそ、()×()の形の展開に他ならないのです。

つまり、()×() の形にして、()の中に2×2の約数、5の約数をすべて書くと、それは正の約数の総和を求めたことになります。よって数値を計算すれば、一致するのです。

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